Università degli studi di Pavia
Contenuto della pagina
Curriculum Analisi Numerica e Modellistica Matematica
Approssimazione numerica di equazioni alle derivate parziali
L'esperienza del nostro gruppo in questo ambito di ricerca è ampiamente riconosciuta a livello internazionale, grazie a importanti contributi dati sia da membri del Collegio Docenti sia, più in generale, da docenti e ricercatori delle istituzioni che sostengono il dottorato: il Dipartimento di Matematica dell'Università di Pavia, l'IMATI del CNR, e il Dipartimento di Matematica e Applicazioni dell'Università di Milano-Bicocca.
Tra i metodi numerici analizzati, e in cui il nostro gruppo si è distinto negli anni, va in primo luogo segnalato il Metodo degli Elementi Finiti (FEM), a tutt'oggi uno dei metodi più largamente utilizzati per la risoluzione numerica di problemi di interesse applicativo, modellizzati da equazioni alle derivate parziali. Contribuiti significativi, riconosciuti in ambito internazionale, sono stati dati dal nostro gruppo sia ai fondamenti teorici di vari tipi di metodi agli elementi finiti (conformi, non-conformi, misti, discontinui) sia alla loro applicazione a numerosi problemi di interesse pratico: problemi di fluido-dinamica, di diffusione-trasporto, di elasticità lineare, magnetostatica, piastre e gusci, dispositivi a semiconduttore, interazione fluido-struttura ecc. A fianco del metodo degli elementi finiti si sono sviluppate diverse varianti, oggetto di ricerche attualmente portate avanti ed elencate di seguito, con i relativi link per chi desiderasse avere maggiori dettagli.
Il Metodo degli elementi Virtuali (VEM) da noi introdotto ed analizzato recentemente, sta ottenendo notevole attenzione da parte della comunità scientifica internazionale. Questo metodo può essere descritto schematicamente come una evoluzione del metodo degli elementi finiti che permette di usare decomposizioni del dominio computazionale in poligoni di forma arbitraria, evitando in tal modo le restrizioni imposte alla mesh dal metodo degli elementi finiti. Il nuovo metodo si è già rivelato efficace e robusto in un certo numero di applicazioni, fra cui ad esempio problemi di elasticità lineare, problemi di flessione di piastre sottili, problemi di diffusione-trasporto-reazione, ma restano molti aspetti da analizzare.
Ricercatori coinvolti: Marini, Pietra, Russo.
Il Metodo IsoGeometrico (IGM) comprende una classe di tecniche di discretizzazione per le equazioni alle derivate parziali (PDE), basato sulla interazione tra il Computer Aided Design (CAD) e la simulazione numerica di PDE. Il software CAD, usato nell’industria per la modellazione geometrica, tipicamente descrive il dominio fisico per mezzo di Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) e l’interfaccia tra l’output del CAD e gli schemi numerici classici richiede tecniche di discretizzazione che sono costose e hanno come risultato soltanto una approssimazione del dominio fisico. I metodi IGM sono schemi basati su NURBS per risolvere PDE i cui vantaggi vanno ben oltre una maggiore integrazione col CAD. Questa attività di ricerca ha lo scopo di sviluppare le tecniche di base per far diventare l’IGM una metodologia altamente accurata e stabile da impiegare nelle simulazioni numeriche, in particolar modo quando l’accuratezza è essenziale sia per la geometria sia per la rappresentazione della soluzione.
Ricercatori coinvolti: Buffa, Sangalli.
La nostra ricerca riguarda anche altri aspetti teorici del FEM e applicazioni . Tra questi ricordiamo in particolare l'approssimazione di problemi agli autovalori associati ad equazioni alle derivate parziali, la simulazione di problemi di interazione fluido-struttura (Immersed boundary method), l'analisi e l'implementazione di schemi agli elementi finiti adattativi (stime a posteriori e convergenza dello schema adattativo), proprietà di approssimazione degli spazi di elementi finiti su mesh distorte, applicazione degli elementi finiti a problemi di elettromagnetismo.
Per tutti questi problemi l'approccio numerico si basa sull'analisi rigorosa degli schemi numerici (buona positura, stabilità, convergenza, ecc.) e sulla validazione numerica dei risultati teorici.
Ricercatori coinvolti: Boffi.
CAGD, modellazione numerica di curve e superfici, e approssimazione dei dati
I nostri interessi principali nel CAGD (Computer-Aided Geometric Design) sono inerenti alla costruzione, all’analisi e alle applicazioni di schemi di suddivisione, metodi iterativi efficienti per la generazione di grafici di funzioni, curve e superfici attraverso l’assegnazione di un insieme iniziale di dati discreti e di un insieme di regole locali di raffinamento. Negli ultimi 20 anni gli schemi di suddivisione hanno mostrato la loro utilità in diverse applicazioni che vanno dal Computer-Aided Gemetric Design alla Computer Graphics e all’Animazione. Recentemente, gli schemi di suddivisione sono stati utilizzati anche per le immagini biomediche, specialmente per la rappresentazione di superfici attive per la segmentazione di immagini biomediche tridimensionali.
Ricercatori coinvolti: Romani.
L'esperienza del nostro gruppo in questo ambito di ricerca è ampiamente riconosciuta a livello internazionale, grazie a importanti contributi dati sia da membri del Collegio Docenti sia, più in generale, da docenti e ricercatori delle istituzioni che sostengono il dottorato: il Dipartimento di Matematica dell'Università di Pavia, l'IMATI del CNR, e il Dipartimento di Matematica e Applicazioni dell'Università di Milano-Bicocca.
Tra i metodi numerici analizzati, e in cui il nostro gruppo si è distinto negli anni, va in primo luogo segnalato il Metodo degli Elementi Finiti (FEM), a tutt'oggi uno dei metodi più largamente utilizzati per la risoluzione numerica di problemi di interesse applicativo, modellizzati da equazioni alle derivate parziali. Contribuiti significativi, riconosciuti in ambito internazionale, sono stati dati dal nostro gruppo sia ai fondamenti teorici di vari tipi di metodi agli elementi finiti (conformi, non-conformi, misti, discontinui) sia alla loro applicazione a numerosi problemi di interesse pratico: problemi di fluido-dinamica, di diffusione-trasporto, di elasticità lineare, magnetostatica, piastre e gusci, dispositivi a semiconduttore, interazione fluido-struttura ecc. A fianco del metodo degli elementi finiti si sono sviluppate diverse varianti, oggetto di ricerche attualmente portate avanti ed elencate di seguito, con i relativi link per chi desiderasse avere maggiori dettagli.
Il Metodo degli elementi Virtuali (VEM) da noi introdotto ed analizzato recentemente, sta ottenendo notevole attenzione da parte della comunità scientifica internazionale. Questo metodo può essere descritto schematicamente come una evoluzione del metodo degli elementi finiti che permette di usare decomposizioni del dominio computazionale in poligoni di forma arbitraria, evitando in tal modo le restrizioni imposte alla mesh dal metodo degli elementi finiti. Il nuovo metodo si è già rivelato efficace e robusto in un certo numero di applicazioni, fra cui ad esempio problemi di elasticità lineare, problemi di flessione di piastre sottili, problemi di diffusione-trasporto-reazione, ma restano molti aspetti da analizzare.
Ricercatori coinvolti: Marini, Pietra, Russo.
Il Metodo IsoGeometrico (IGM) comprende una classe di tecniche di discretizzazione per le equazioni alle derivate parziali (PDE), basato sulla interazione tra il Computer Aided Design (CAD) e la simulazione numerica di PDE. Il software CAD, usato nell’industria per la modellazione geometrica, tipicamente descrive il dominio fisico per mezzo di Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) e l’interfaccia tra l’output del CAD e gli schemi numerici classici richiede tecniche di discretizzazione che sono costose e hanno come risultato soltanto una approssimazione del dominio fisico. I metodi IGM sono schemi basati su NURBS per risolvere PDE i cui vantaggi vanno ben oltre una maggiore integrazione col CAD. Questa attività di ricerca ha lo scopo di sviluppare le tecniche di base per far diventare l’IGM una metodologia altamente accurata e stabile da impiegare nelle simulazioni numeriche, in particolar modo quando l’accuratezza è essenziale sia per la geometria sia per la rappresentazione della soluzione.
Ricercatori coinvolti: Buffa, Sangalli.
La nostra ricerca riguarda anche altri aspetti teorici del FEM e applicazioni . Tra questi ricordiamo in particolare l'approssimazione di problemi agli autovalori associati ad equazioni alle derivate parziali, la simulazione di problemi di interazione fluido-struttura (Immersed boundary method), l'analisi e l'implementazione di schemi agli elementi finiti adattativi (stime a posteriori e convergenza dello schema adattativo), proprietà di approssimazione degli spazi di elementi finiti su mesh distorte, applicazione degli elementi finiti a problemi di elettromagnetismo.
Per tutti questi problemi l'approccio numerico si basa sull'analisi rigorosa degli schemi numerici (buona positura, stabilità, convergenza, ecc.) e sulla validazione numerica dei risultati teorici.
Ricercatori coinvolti: Boffi.
CAGD, modellazione numerica di curve e superfici, e approssimazione dei dati
I nostri interessi principali nel CAGD (Computer-Aided Geometric Design) sono inerenti alla costruzione, all’analisi e alle applicazioni di schemi di suddivisione, metodi iterativi efficienti per la generazione di grafici di funzioni, curve e superfici attraverso l’assegnazione di un insieme iniziale di dati discreti e di un insieme di regole locali di raffinamento. Negli ultimi 20 anni gli schemi di suddivisione hanno mostrato la loro utilità in diverse applicazioni che vanno dal Computer-Aided Gemetric Design alla Computer Graphics e all’Animazione. Recentemente, gli schemi di suddivisione sono stati utilizzati anche per le immagini biomediche, specialmente per la rappresentazione di superfici attive per la segmentazione di immagini biomediche tridimensionali.
Ricercatori coinvolti: Romani.
